La médaille Fields

Stanislav Smirnov a reçu la Médaille Fields « pour la preuve de l’invariance conforme des modèles de percolation et d’Ising en mécanique statistique ».

Stanislav Smirnov a posé des fondations mathématiques solides pour un domaine émergeant et florissant de la physique mathématique. Il a donné des preuves élégantes pour deux anciennes conjectures fondamentales en physique statistique, mettant en évidence des symétries surprenantes dans des modélisations mathématiques de phénomènes physiques.

Même si les travaux de Stanislav Smirnov sont hautement théoriques, ils sont reliés de manière surprenante à des questions pratiques. Par exemple, quand l’eau coule-t-elle au travers d’un sol ou reste-t-elle bloquée ? Pour qu’elle s’écoule, il faut qu’à petite échelle, des porosités dans le sol soient reliées pour lui fournir un canal continu d’un point à un autre. Ceci est une question classique en physique statistique, car le comportement à large échelle de ce système (si l’eau peut s’écouler d’un point à un autre du sol) est déterminé par son comportement probabiliste à petite échelle (la chance qu’à tous les endroits du sol existe une porosité).

Un modèle de percolation

un tirage aléatoire sur un réseau hexagonal

C’est aussi une question naturelle de modéliser mathématiquement un tel phénomène. Imaginons chaque point du sol comme étant le sommet d’une grille ou un treillis contenu dans un rectangle modélisant le sol. Colorions ce sommet en bleu si l’eau peut le traverser et en jaune sinon. Déterminons la couleur de chaque case en lançant une pièce de monnaie (face pour jaune et pile pour bleu), en utilisant une pièce pouvant être déséquilibrée. Si un chemin de cases bleues traverse le rectangle de part en part, alors l’eau passera d’un côté à l’autre.

De tels modèles de percolation se comportent de manière surprenante. Pour des valeurs extrêmes, le comportement est celui auquel on peut s’attendre : si la pièce est fortement déséquilibrée en défaveur du bleu, l’eau ne passera pas, alors que si elle est fortement en faveur du bleu, l’eau passera presque sûrement. Mais la probabilité d’écoulement ne change pas régulièrement en fonction du pourcentage de cases bleues. Au lieu de cela, l’eau va presque sûrement être bloquée jusqu’à ce que le pourcentage de bleu atteigne un certain seuil. Une fois ce seuil atteint, la probabilité que l’eau passe monte en flèche. Ce seuil est appelé une « valeur critique ». Ces changements brusques de comportement ressemblent à ce qui se passe quand on chauffe de l’eau : soudainement, à une certaine température critique, l’eau bout. Pour cette raison, on appelle communément ce type de phénomène une transition de phase.

Mais bien sûr, un sol réel, n’apparaît pas avec des trous bien alignés et régulièrement espacés horizontalement et verticalement. Ainsi, pour appliquer un tel modèle a une situation réelle, quelques questions apparaissent. Tout d’abord, quelle finesse doit avoir la maille du treillis ? Les physiciens sont particulièrement intéressés à comprendre le processus à l’échelle moléculaire, dans laquelle la grille est évidemment très fine. Les mathématiciens se posent alors la question de la relation entre modèles ayant des finesses de treillis arbitrairement petites. Leur espoir étant, qu’au fur et à mesure que la grille devient plus fine, les modèles se rapprochent d’un modèle unique qui aurait effectivement une grille infiniment fine : ce modèle est appelé la « limite d’échelle ».

Pour voir pourquoi il n’est pas évident qu’une limite d’échelle existe, imaginons que nous choisissons un certain pourcentage de points bleus pour le treillis et calculons la probabilité que les porosités s’alignent pour former une traversée. Réduisons ensuite la taille de la maille du grillage et calculons à nouveau cette probabilité. Quand le grillage devient plus fin, la suite formée par les probabilité de traverser peut s’approcher de plus en plus d’un certain nombre, de la même manière que 1.9, 1.99,1.999, 1.9999, ... s’approche de plus en plus de 2. Dans ce cas, ce nombre sera la probabilité de traverser pour la limite d’échelle. Mais il est aussi imaginable que cette suite de probabilités saute d’une valeur à une autre et ne converge jamais vers une limite, comme la suite de nombres 0, 1, 0, 1, 0, 1,... Dans ce cas, doit-on choisir 0 ou 1 comme probabilité de traverser pour la limite ? Il n’y a pas de bonne réponse, nous devons donc dire que, dans ce cas, la valeur limite n’existe pas.

Une autre question potentiellement problématique est quelle forme de grillage choisir. Même si nous nous restreignons à deux dimensions, il y a bien des choix possibles : grillages carrés, grillages triangulaires, en losange, ... Idéalement le modèle devrait être « universel », de telle sorte que le choix de la forme du réseau ne l’affecte pas. Mais ceci n’est absolument pas évident.

Les physiciens sont pratiquement sûrs qu’aucun de ces problèmes potentiels n’est grave. En utilisant leur intuition physique, ils ont argumenté de manière convaincante que le modèle devrait effectivement tendre vers une unique limite d’échelle bien définie quand le grillage devient de plus en plus fin. En outre, bien que le choix du modèle affecte la valeur critique, les physiciens se sont persuadés que cela ne va pas affecter plusieurs autres propriétés auxquelles ils s’intéressent.

Les physiciens ont compris bien d’autres choses au sujet des réseaux bidimensionnels, en trouvant des indices d’une surprenante et belle symétrie. Imaginons que nous prenions un réseau de n’importe quelle forme, que nous l’étirions ou que nous l’écrasions, mais sans changer les angles. La projection de Mercator du globe terrestre est un exemple d’une telle transformation, le Groenland est énorme car les distances sont changées, mais les lignes représentant les longitudes et les latitudes continuent néanmoins à se croiser à angle droit. Les physiciens se sont convaincu que si l’on transforme des modèles de percolation en deux dimensions de cette manière, ceci ne changera pas leurs limites d’échelles (pour autant que l’on reste proche des points critiques). Ou, pour utiliser un terme technique, ils se sont persuadés que la limite d’échelle est « conformément invariante ».

En 1992, John Cardy, un physicien de l’université d’Oxford, utilisa cette intuition pour atteindre un des grands buts de la théorie de la percolation, à savoir : trouver une formule précise pour calculer la probabilité de traverser pour les limites d’échelle des réseaux en deux dimensions à proximité des points critiques. Le seul problème était que, bien que les arguments physiques aient été persuasifs, ni lui ni personne ne pouvait traduire ces intuitions physiques en démonstrations mathématiques rigoureuses.

Un réseau triangulaire

En 2001, Smirnov a solidement fondé mathématiquement cette théorie physique. Il a démontré que la limite d’échelle est conformément invariante pour le réseau triangulaire. Dans ce processus, il a également démontré la formule de Cardy pour les réseaux triangulaires. Sa démonstration utilise une approche indépendante de celles utilisées auparavant par les physiciens et fournit des éclairages fondamentaux. Il a également comblé une étape manquante critique dans la théorie SLE, une méthode importante récemment développée en théorie des probabilités. Une autre de ses réalisations majeures est d’avoir utilisé des méthodes similaires pour comprendre les modèles d’Ising, qui décrivent divers phénomènes comme le magnétisme, la circulation des gaz, les transformations d’image ou l’écologie. Tout comme la percolation, les comportements à grande échelle de ces phénomènes sont déterminés par leur comportement probabiliste à petite échelle. Considérons, par exemple, le magnétisme : les atomes dans un morceau de fer se comportent comme des aimants miniatures, avec les électrons en mouvement autour du noyau qui créent un champ magnétique miniature. Les atomes tentent d’induire chez leurs voisins le même alignement que le leur. Quand assez d’atomes ont leur pôle nord pointant dans le même sens, le morceau de fer dans son ensemble devient magnétique. Les mathématiciens modélisent ceci en visualisant les atomes comme se trouvant sur les nœuds d’un réseau. La probabilité qu’un atome pointe vers le nord dépend alors du pointage de ses voisins.

Modèle d’Ising

Comme le modèle de percolation, le modèle d’Ising subit une transition de phase. Physiquement parlant, lorsque vous chauffez du fer, les atomes vibrent plus rapidement, et si vous chauffez au-delà d’un certain point, les vibrations sont si fortes que les atomes ne peuvent plus influencer l’alignement de leurs voisins et la pièce dans son ensemble perd son magnétisme. Les mêmes questionnements des mathématiciens et des physiciens pour la percolation s’appliquent aussi au modèle d’Ising. La grille doit être extrêmement fine, puisqu’elle opère au niveau atomique. Si la maille de la grille devient de plus en plus fine, le modèle converge-t-il vers une limite d’échelle ? En outre, comment la forme du treillis affecte-t-elle le point critique et d’autres propriétés ? Et que se passe-t-il si vous étirez ou compressez le réseau sans changer les angles, la limite d’échelle change-t-elle aussi ? Pour ce modèle aussi, Smirnov a pu démontrer que les modèles convergent vers une limite d’échelle lorsque la maille de la grille devient de plus en plus fine et qu’ils ne sont pas affectés par des étirements ou des compressions ; ce sont donc des invariants conformes. Avec Dmitry Chelkak, il en a établi l’universalité, en étendant les résultats à un large éventail de réseaux différents. Il a également réalisé d’importants travaux en analyse et sur les systèmes dynamiques. Son travail va continuer d’enrichir à l’avenir à la fois les mathématiques et la physique et permettra de gravir de nouveaux sommets de la connaissance.

Le Prof. Stanislas Smirnov